این جزوه بر اساس قانون ۸۰/۲۰ طراحی شده. فقط ۲۰٪ از مطالب را پوشش میدهد که ۸۰٪ سؤالات امتحان را شامل میشوند. اگر وقت محدودی داری، یکی از برنامههای زیر را انتخاب کن:
رابطه یعنی یک همبستگی بین دو مجموعه. مثلاً «استاد» و «درس»: هر استاد به چند درس مربوط میشود.
رابطه را معمولاً با یک دستگاه مختصات یا یک جدول یا یک نمودار پیکانی نشان میدهند.
رابطه یعنی «چه کسی به چه چیزی ربط دارد.» مثلاً «علی» به «ریاضی» ربط دارد.
مجموعه $A = \{1,2,3\}$ و $B = \{a,b\}$
رابطه $R = \{(1,a), (2,a), (3,b)\}$
یعنی ۱ به a ربط دارد، ۲ به a، ۳ به b.
در امتحان معمولاً ازت میخوان که تشخیص بدی یک رابطه تابع هست یا نه. برای این کار باید بدونی تابع چیست.
تابع یک رابطه خاص است که در آن هر ورودی (x) دقیقاً یک خروجی (y) دارد.
تابع مثل یک دستگاه آبمیوهگیری است. هر میوهای (x) میاندازی، فقط یک آبمیوه (y) تحویل میدهی.
نوشتار: $f(x) = ...$ یعنی «f از x» یا «مقدار تابع f در نقطه x».
$f(x)$ یعنی «مقدار تابع f را وقتی x را میدهی پیدا کن.»
روش ۱ - خط عمودی: اگر بتونی یک خط عمودی روی نمودار بکشی که نمودار را در بیش از یک نقطه قطع کنه، اون نمودار تابع نیست.
روش ۲ - زوج مرتب: اگر بین زوجهای مرتب، دو تا زوج با x یکسان و y متفاوت دیدی، تابع نیست.
دایره $x^2+y^2=r^2$ تابع نیست چون یک x دو تا y دارد. اشتباه نگیر!
$f(x) = 2x + 1$
اگر $x=1$: $f(1) = 2(1) + 1 = 3$ ✅ یک خروجی
اگر $x=2$: $f(2) = 2(2) + 1 = 5$ ✅ یک خروجی → تابع است.
$x^2 + y^2 = 4$ (دایره)
اگر $x=0$: $y^2 = 4 \Rightarrow y = \pm 2$ ❌ دو خروجی ← تابع نیست.
احتمالاً یک نمودار بهت میدهد و میپرسد «آیا تابع است؟» با خط عمودی امتحان کن.
تابع = هر x یک y. خط عمودی بکش، اگر دو جا را قطع کرد تابع نیست.
دامنه یعنی مجموعه تمام xهایی که تابع برای آنها معنی دارد.
به زبان ساده: چه عددهایی میتونیم بذاریم جای x که تابع خراب نشه؟
دامنه را با $D_f$ نشان میدهیم.
دامنه یعنی «x مجاز». مثل محدودیت سنی فیلمها — بعضی xها را نمیتوانی به تابع بدهی!
حدود ۶۰٪ سؤالات امتحان یا مستقیم دامنه میپرسند یا در سؤال به دامنه نیاز داری. این مبحث را کامل یاد بگیر.
اگر تابع کسری بود: $f(x) = \frac{A}{B}$
شرط: $B \neq 0$ (مخرج نباید صفر شود)
مخرج کسر هیچوقت نباید صفر بشه. عددی که مخرج را صفر میکند از دامنه بیرون است.
$f(x) = \frac{1}{x-3}$ → $x-3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$ → $D_f = \mathbb{R} - \{3\}$
اگر تابع شامل $\sqrt[n]{A}$ با n زوج بود:
شرط: $A \geq 0$ (زیر رادیکال نباید منفی شود)
زیر رادیکال زوج نباید منفی شود. چون ریشه زوج عدد منفی تعریفنشده است.
$f(x) = \sqrt{x-2}$ → $x-2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2$ → $D_f = [2, +\infty)$
اگر تابع شامل $\ln(A)$ یا $\log(A)$ بود:
شرط: $A > 0$ (مقدار داخل لگاریتم باید مثبت باشد)
داخل لگاریتم باید حتماً مثبت باشه. لگاریتم صفر یا عدد منفی معنی ندارد.
$f(x) = \ln(x-1)$ → $x-1 > 0 \Rightarrow x > 1$ → $D_f = (1, +\infty)$
اگر چند شرط همزمان داشتیم، اشتراک همه را بگیر.
اشتراک یعنی «همه شرطها باهم». مثل فیلتر زدن: باید هم مخرج صفر نباشد هم زیر رادیکال منفی نباشد.
$f(x) = \frac{\sqrt{x+1}}{\ln(2-x)}$
شرط ۱ (زیر رادیکال): $x+1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -1$
شرط ۲ (مخرج): $\ln(2-x) \neq 0 \Rightarrow 2-x \neq 1 \Rightarrow x \neq 1$
شرط ۳ (داخل لگ): $2-x > 0 \Rightarrow x < 2$
$D_f = [-1,1) \cup (1,2)$
| شرط | عبارت | دامنه |
|---|---|---|
| مخرج کسر | $\frac{A}{B}$ | $B \neq 0$ |
| رادیکال زوج | $\sqrt[2n]{A}$ | $A \geq 0$ |
| رادیکال فرد | $\sqrt[2n+1]{A}$ | $\mathbb{R}$ (همه اعداد) |
| لگاریتم | $\ln(A)$ | $A > 0$ |
| توان کسری | $A^{\frac{m}{n}}$ با n زوج | $A \geq 0$ |
$f(x) = \frac{3}{x-5}$ → $x-5 \neq 0 \Rightarrow x \neq 5$ → $D_f = \mathbb{R} - \{5\}$
$f(x) = \sqrt{x+4}$ → $x+4 \geq 0 \Rightarrow x \geq -4$ → $D_f = [-4, +\infty)$
$f(x) = \ln(3-x)$ → $3-x > 0 \Rightarrow x < 3$ → $D_f = (-\infty, 3)$
$f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ → $x \geq 0$ و $\sqrt{x} \neq 0$ → $D_f = (0, +\infty)$
$f(x) = \sqrt{x^2 - 4}$ → $x^2 - 4 \geq 0 \Rightarrow |x| \geq 2$ → $D_f = (-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$
$f(x) = \ln(x^2 - 9)$ → $x^2 > 9 \Rightarrow |x| > 3$ → $D_f = (-\infty, -3) \cup (3, +\infty)$
$f(x) = \frac{x}{\ln(5-x)}$ → $x < 5$ و $x \neq 4$ → $D_f = (-\infty, 4) \cup (4, 5)$
$f(x) = \sqrt{2x+3} + \frac{1}{x}$ → $x \geq -\frac{3}{2}$ و $x \neq 0$ → $D_f = [-\frac{3}{2}, 0) \cup (0, +\infty)$
$f(x) = \frac{\sqrt{x}}{x-1}$ → $x \geq 0$ و $x \neq 1$ → $D_f = [0,1) \cup (1, +\infty)$
$f(x) = \ln((x-1)(x-3))$ → $(x-1)(x-3) > 0$ → $D_f = (-\infty, 1) \cup (3, +\infty)$
$f(x) = \sqrt{4-x^2} + \ln(x+2)$ → $x \leq 2$ و $x > -2$ → $D_f = (-2, 2]$
$f(x) = \frac{1}{\ln(\sqrt{x})}$ → $x > 0$ و $x \neq 1$ → $D_f = (0,1) \cup (1, +\infty)$
$f(x) = \sqrt[4]{x^2-1}$ → $|x| \geq 1$ → $D_f = (-\infty, -1] \cup [1, +\infty)$
$f(x) = \frac{\sqrt{x^2-5x+6}}{x-2}$ → $(x-2)(x-3) \geq 0$ و $x \neq 2$ → $D_f = (-\infty, 2) \cup [3, +\infty)$
$f(x) = \ln(1 - \frac{1}{x})$ → $\frac{x-1}{x} > 0$ و $x \neq 0$ → $D_f = (-\infty, 0) \cup (1, +\infty)$
$\sqrt{x^2} \neq x$! بلکه $\sqrt{x^2} = |x|$ پس دامنه آن همه ℝ است.
$\frac{1}{0}$ تعریفنشده است. همیشه ریشههای مخرج را از دامنه خارج کن.
در $\frac{1}{\sqrt{x-2}}$، $\sqrt{x-2} \neq 0$ را فراموش نکن! جواب: $x > 2$.
$\ln(0)$ تعریفنشده است. لگاریتم فقط برای اعداد مثبت معنی دارد.
در ترکیب شرطها، اشتراک بگیر! اشتباه رایج: دانشجوها اجتماع میگیرند.
$\sqrt[3]{x}$ برای همه ℝ تعریف شده. رادیکال فرد محدودیت ندارد.
$f(x) = \ln(x^2)$ دامنهاش $x \neq 0$ است، چون $x^2 > 0$ برای همه xهای غیرصفر.
در $\frac{\sqrt{x-1}}{x^2-4}$، $x^2 - 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 2$
$f(x) = \frac{1}{x^2+1}$ دامنهاش ℝ است چون $x^2+1$ هیچوقت صفر نمیشود.
جواب دامنه را همیشه به صورت بازه بنویس. استفاده از ℝ با استثناها را درست بنویس.
خط راست: $y = mx + b$ — یک خط با شیب m و عرض از مبدأ b
خط راست = سادهترین تابع. با تغییر m، خط تندتر یا کندتر میشود.
سهمی: $y = x^2$ — یک U شکل که رأس آن در $(0,0)$ است
مکعبی: $y = x^3$ — از سوم به اول میرود
نمایی: $y = e^x$ — همیشه مثبت و صعودی
لگاریتم: $y = \ln x$ — فقط برای $x>0$ تعریف شده
قدر مطلق یعنی فاصله از صفر. همیشه عددی نامنفی است.
$|x| = \begin{cases} x & x \geq 0 \\ -x & x < 0 \end{cases}$
قدر مطلق یعنی «فاصله تا صفر». مثلاً فاصله ۵- تا صفر برابر ۵ است. علامت را برمیدارد!
$|5| = 5$ و $|-3| = 3$ و $|0| = 0$
$|x-2|$ یعنی فاصله x از عدد ۲.
۱. $|a| = |-a|$
۲. $|a \times b| = |a| \times |b|$
۳. $|a + b| \neq |a| + |b|$ (⚠️ اشتباه رایج)
۴. $|x| \geq 0$ همیشه
۵. $|x| = a \Rightarrow x = \pm a$ اگر $a \geq 0$
معادله $|x-3|=5$ را حل کن. جواب: $x=8$ یا $x=-2$.
قدر مطلق = فاصله از صفر. $|x|=a$ یعنی $x=\pm a$.
$[x]$ یا $\lfloor x \rfloor$ یعنی بزرگترین عدد صحیح که کوچکتر یا مساوی x است.
به عبارت سادهتر: عدد اعشاری را به پایین گرد کن.
جزء صحیح یعنی «برگرد به پایین». ۳.۷ میشود ۳. ۱.۲- میشود ۲- (چون از ۱- هم کوچکتر است!).
$[3.7] = 3$ و $[2.1] = 2$ و $[-1.3] = -2$ (دقت کن! $-2$ چون $-1.3$ بین $-2$ و $-1$ است)
$[5] = 5$ و $[-0.5] = -1$
جزء صحیح = گرد کردن به پایین. $[3.7]=3$، $[-1.3]=-2$.
| انتقال | نتیجه | توضیح |
|---|---|---|
| $f(x) + a$ | a واحد به بالا | اگر $a>0$ |
| $f(x) - a$ | a واحد به پایین | اگر $a>0$ |
| $f(x - a)$ | a واحد به راست | اگر $a>0$ |
| $f(x + a)$ | a واحد به چپ | اگر $a>0$ |
| $-f(x)$ | قرینه نسبت به محور x | برعکس شدن |
| $f(-x)$ | قرینه نسبت به محور y | آینهای |
| $a f(x)$ | کشش عمودی ($a>1$) یا فشردگی ($0 < a < 1$) | ضریب |
| $f(ax)$ | فشردگی افقی ($a>1$) یا کشش ($0 < a < 1$) | ضریب |
داخل تابع = برعکس: $f(x-2)$ میرود به راست (برعکس ذهن)
خارج تابع = مستقیم: $f(x)+2$ میرود به بالا (همانطور که فکر میکنی)
منفی داخل = قرینه y: $f(-x)$
منفی خارج = قرینه x: $-f(x)$
اگر $f$ و $g$ دو تابع باشند:
جمع: $(f+g)(x) = f(x) + g(x)$
تفریق: $(f-g)(x) = f(x) - g(x)$
ضرب: $(f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)$
تقسیم: $(\frac{f}{g})(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$ به شرط $g(x) \neq 0$
ترکیب: $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ — تابع g را داخل f میگذاریم
$f(x) = x^2$ و $g(x) = 2x+1$
$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = (2x+1)^2$
$(g \circ f)(x) = g(f(x)) = 2x^2 + 1$
دقت کن: $(f \circ g) \neq (g \circ f)$ معمولاً
تابع زوج: $f(-x) = f(x)$ برای همه xها — متقارن نسبت به محور y. مثال: $f(x) = x^2$
تابع زوج = آینهای. قرینه چپ و راست برابر است. مثل صورت انسان!
تابع فرد: $f(-x) = -f(x)$ برای همه xها — متقارن نسبت به مبدأ. مثال: $f(x) = x^3$
تابع فرد = قرینه. $f(2)=8$ و $f(-2)=-8$ — قرینه هم هستند.
صعودی: $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$ — نمودار بالا میرود
صعودی = هر چه جلوتر میروی، تابع بزرگتر میشود (بالا میرود).
نزولی: $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$ — نمودار پایین میرود
نزولی = هر چه جلوتر میروی، تابع کوچکتر میشود (پایین میآید).
$f'(x) > 0$ → صعودی • $f'(x) < 0$ → نزولی • $f'(x) = 0$ → نقطه بحرانی
مشتق مثبت = تابع بالا میرود (صعودی). مشتق منفی = تابع پایین میآید (نزولی).
تابع یک به یک است اگر هر خروجی فقط از یک ورودی به دست بیاید.
شرط: $f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2$
هر y فقط یک x دارد. مثل اثر انگشت.
خط افقی: اگر خط افقی نمودار را در بیش از یک نقطه قطع کند، یک به یک نیست.
توابع اکیداً صعودی یا اکیداً نزولی، یک به یک هستند.
اگر $f$ یک به یک باشد، $f^{-1}$ دارد به طوری که $f^{-1}(f(x)) = x$.
معکوس یعنی «برعکس کردن».اگر تابع «۲ برابر به اضافه ۳» باشد، معکوسش «منهای ۳ تقسیم بر ۲» است.
$f(x) = 2x + 3$ → $y = 2x + 3$ → $x = 2y + 3$ → $f^{-1}(x) = \frac{x-3}{2}$
$f(x) = a^x$ که $a > 0$ و $a \neq 1$ — شکل خاص: $f(x) = e^x$ ($e \approx 2.718$)
۱. دامنه: ℝ • ۲. برد: $(0, +\infty)$ • ۳. $a^0 = 1$ • ۴. $a>1$: صعودی • $0 < a < 1$: نزولی
۵. $e^x$ در مدیریت برای رشد جمعیت، سود مرکب و مدلسازی اقتصادی
$\log_a(x) = y$ یعنی $a^y = x$ — لگاریتم طبیعی: $\ln(x) = \log_e(x)$
لگاریتم یعنی «چه توانی بدهیم تا به x برسیم». $\log_2(8)=3$ چون $2^3=8$.
۱. دامنه: $(0, +\infty)$ • ۲. $\ln(1)=0$ • ۳. $\ln(e)=1$
۴. $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ • ۵. $\ln(\frac{a}{b}) = \ln a - \ln b$ • ۶. $\ln(a^b) = b \ln a$
سه خاصیت بالا را حفظ کن! در مشتق و حد زیاد به کار میآیند.
$R(x) = p \times x$ که $p$ = قیمت هر واحد و $x$ = تعداد واحد فروخته شده
یک شرکت محصولی را به قیمت ۵۰۰۰ تومان میفروشد. $R(x) = 5000x$
اگر ۱۰۰ واحد بفروشد: $R(100) = 5000 \times 100 = 500,000$ تومان
$C(x) = FC + VC(x)$ که $FC$ = هزینه ثابت، $VC(x)$ = هزینه متغیر
هزینه ثابت ۲۰۰۰۰۰ تومان و هزینه هر واحد ۳۰۰۰ تومان: $C(x) = 200000 + 3000x$
$C(50) = 200000 + 3000(50) = 350,000$ تومان
$P(x) = R(x) - C(x)$ سود = درآمد - هزینه
$R(x) = 5000x$ و $C(x) = 200000 + 3000x$
$P(x) = 5000x - (200000 + 3000x) = 2000x - 200000$
نقطه سربهسر (Break-even): $P(x) = 0$ → $2000x = 200000$ → $x = 100$ واحد
فرض کن داری به یک شهر نزدیک میشی. هر چقدر نزدیکتر میشی، علائم بیشتری میبینی. حد یعنی ببینیم وقتی به یک نقطه نزدیک میشویم، تابع به چه عددی نزدیک میشود.
$\lim_{x \to a} f(x) = L$ یعنی: وقتی x به a نزدیک میشود، f(x) به L نزدیک میشود.
حد یعنی «نزدیک شو ببین چه میشود».مثل اینکه به یک مغازه نزدیک میشوی و میبینی چه چیزی در ویترین است.
در حد، مقدار تابع در نقطه a مهم نیست. فقط مهم است که نزدیک a چه میشود.
فرق میکند که «به در خانه برسی» با «داخل خانه باشی».حد یعنی «رسیدن به در»، نه «داخل شدن».
اگر $\lim_{x \to a} f(x) = L$ و $\lim_{x \to a} g(x) = M$:
| قانون | فرمول |
|---|---|
| عدد ثابت | $\lim_{x \to a} c = c$ |
| ضرب در عدد | $\lim_{x \to a} cf(x) = cL$ |
| جمع | $\lim_{x \to a} [f(x) + g(x)] = L + M$ |
| تفریق | $\lim_{x \to a} [f(x) - g(x)] = L - M$ |
| ضرب | $\lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = L \cdot M$ |
| تقسیم | $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M}$ به شرط $M \neq 0$ |
| قدرت | $\lim_{x \to a} [f(x)]^n = L^n$ |
| ریشه | $\lim_{x \to a} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{L}$ |
حد چپ: $\lim_{x \to a^-} f(x)$ — از سمت چپ (اعداد کوچکتر) به a نزدیک میشویم.
حد چپ یعنی «از پایین به عدد نزدیک شو».مثل نزدیک شدن به ۲ از سمت ۱.۹.
حد راست: $\lim_{x \to a^+} f(x)$ — از سمت راست (اعداد بزرگتر) به a نزدیک میشویم.
حد راست یعنی «از بالا به عدد نزدیک شو».مثل نزدیک شدن به ۲ از سمت ۲.۱.
$\lim_{x \to a} f(x)$ وجود دارد اگر و فقط اگر $\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x)$
اگر از چپ و راست به یک عدد رسیدی، حد وجود دارد. اگر نه، حد ندارد.
یک تابع دوضابطهای میدهد و میپرسد حد در نقطه شکست وجود دارد یا نه. باید چپ و راست را جدا حساب کنی.
حد چپ = از پایین نزدیک شو. حد راست = از بالا نزدیک شو. اگر برابر بودند = حد وجود دارد.
وقتی جایگذاری کنیم و به $\frac{0}{0}$ یا $\frac{\infty}{\infty}$ برسیم، یعنی ابهام داریم.
ابهام یعنی «صفر صفرم» یا «بینهایت بینهایتم». جواب مستقیم ندارد، باید راه دیگری پیدا کرد.
$\frac{0}{0}$ = فاکتور بگیر. رادیکال داری = مزدوج بزن. بلدی مشتق = هوپیتال کن.
از صورت و مخرج فاکتور بگیر و عبارت مشترک را حذف کن. مثل ساده کردن کسر ۲/۴ به ۱/۲.
مرحله ۱: جایگذاری میکنیم → $\frac{4-4}{2-2} = \frac{0}{0}$ ← ابهام
مرحله ۲: از صورت فاکتور میگیریم → $\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}$
مرحله ۳: $x-2$ را ساده میکنیم → $\lim_{x \to 2} (x+2)$
مرحله ۴: جایگذاری میکنیم → $4$ ✅
اگر رادیکال داری، در مزدوج ضرب کن تا رادیکال از بین برود. مزدوج یعنی علامت وسط را عوض کن.
مرحله ۱: جایگذاری → $\frac{1-1}{0} = \frac{0}{0}$ ← ابهام
مرحله ۲: ضرب در مزدوج → $\lim \frac{(\sqrt{x+1} - 1)(\sqrt{x+1} + 1)}{x(\sqrt{x+1} + 1)}$
مرحله ۳: سادهسازی صورت → $\lim \frac{x}{x(\sqrt{x+1} + 1)}$
مرحله ۴: حذف $x$ → $\lim \frac{1}{\sqrt{x+1} + 1}$
مرحله ۵: جایگذاری $x=0$ → $\frac{1}{2}$ ✅
اگر $\frac{0}{0}$ یا $\frac{\infty}{\infty}$ داشتیم: $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ (پس از یادگیری مشتق)
هوپیتال = از صورت و مخرج جداگانه مشتق بگیر و دوباره حد را حساب کن. میانبر رفع ابهام!
| وضعیت | نتیجه | اقدام |
|---|---|---|
| جایگذاری شد $L$ (عدد) | $\lim = L$ | همان جواب |
| $\frac{0}{0}$ | ابهام | فاکتورگیری / گویا کردن / هوپیتال |
| $\frac{c}{0}$ که $c \neq 0$ | حد بینهایت | تعیین علامت $\pm \infty$ |
| $\frac{\infty}{\infty}$ | ابهام | تقسیم بر بزرگترین توان |
| چپ و راست برابر نیستند | حد وجود ندارد | — |
$\lim_{x \to 2} \frac{1}{x-2}$: از چپ $\to -\infty$، از راست $\to +\infty$ ← حد وجود ندارد.
تابع در نقطه a پیوسته است اگر نمودار در آن نقطه قطع نشود.
سه شرط: ۱. $f(a)$ تعریف شده باشد ۲. $\lim_{x \to a} f(x)$ وجود داشته باشد ۳. $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$
پیوستگی یعنی «نمودار را بدون برداشتن خودکار میتوانی بکشی». اگر پرش یا شکاف داشته باشد، ناپیوسته است.
مقدار c را پیدا کن تا تابع در نقطه a پیوسته باشد. حد چپ و راست را برابر بگذار و c را حساب کن.
پیوستگی سه شرط: $f(a)$ تعریف شده، $\lim f(x)$ وجود دارد، و این دو برابر باشند.
فرض کن ماشینی در حال حرکت است. سرعت در هر لحظه یعنی میزان تغییر مکان در آن لحظه. مشتق یعنی سرعت تغییر تابع در هر نقطه.
به زبان مدیریتی: اگر تابع سود باشد، مشتق آن یعنی «به ازای یک واحد افزایش تولید، چقدر به سود اضافه میشود.»
تعریف ریاضی: $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$
مشتق یعنی «شیب تابع در هر لحظه». مثل سرعتسنج ماشین که نشان میدهد در هر لحظه چقدر تند میروی.
| قانون | $f(x)$ | $f'(x)$ |
|---|---|---|
| عدد ثابت | $c$ | $0$ |
| x | $x$ | $1$ |
| توان | $x^n$ | $n x^{n-1}$ |
| ضرب در عدد | $c f(x)$ | $c f'(x)$ |
| جمع | $f(x) + g(x)$ | $f'(x) + g'(x)$ |
| تفریق | $f(x) - g(x)$ | $f'(x) - g'(x)$ |
| ضرب | $f(x) \cdot g(x)$ | $f'g + fg'$ |
| تقسیم | $\frac{f(x)}{g(x)}$ | $\frac{f'g - fg'}{g^2}$ |
| زنجیرهای | $f(g(x))$ | $f'(g(x)) \cdot g'(x)$ |
| نمایی | $e^x$ | $e^x$ |
| نمایی (عمومی) | $a^x$ | $a^x \ln a$ |
| لگاریتم | $\ln x$ | $\frac{1}{x}$ |
$(x^n)'$ = «توان را بیار جلو، یکی کم کن». مثل $x^5$ → $5x^4$
$(e^x)'$ = «خودش». فقط $e^x$ میشه $e^x$. حفظ نکن، بمونه تو ذهنت!
$(\ln x)'$ = «یک روی x». لگاریتم میره، $\frac{1}{x}$ میمونه.
قاعده ضرب: «اول ضرب در مشتق دوم + دوم ضرب در مشتق اول»
به زبان ساده: $(fg)'$ یعنی «اولی×مشتق دومی + دومی×مشتق اولی».
مثل دو نفر که با هم کار میکنند: از هر کدام مشتق میگیری و به دیگری میزنی، بعد جمع میکنی.
قاعده تقسیم: «مشتق اول × دوم − اول × مشتق دوم، همه تقسیم بر دوم به توان ۲»
به زبان ساده: $(f/g)'$ یعنی «(مشتق صورت×مخرج − صورت×مشتق مخرج) همه ÷ مخرج²».
مثل کسر معمولی: صورت را جدا مشتق بگیر، مخرج را نگه دار، منهای برعکسش، بعد ببر زیرش مخرج².
زنجیرهای: «از بیرون به داخل مشتق بگیر، در مشتق داخل ضرب کن»
به زبان ساده: $f(g(x))$ = اول مشتق f در g (با حفظ g)، بعد ضرب در مشتق g.
مثل پوستکندن پیاز: از لایه بیرونی شروع کن، بعد برو داخل. هر لایه را مشتق بگیر و در لایه بعدی ضرب کن.
$e^x$: «خودش میشه!»
مشتق $e^x$ خود $e^x$ است. سادهترین مشتق دنیا!
یک عبارت ترکیبی (مثلاً $x^2 e^x$ یا $(2x+1)^3$) میدهد و میگوید مشتق بگیر. باید قانون ضرب و زنجیرهای را بلد باشی.
ضرب: $(fg)'=f'g+fg'. تقسیم: $(f/g)'=(f'g-fg')/g^2. زنجیرهای: $(f(g))'=f'(g)g'. $e^x$ → خودش. $\ln x$ → $1/x$.
تابع:
مشتق با قانون ضرب:
تابع:
مرحله ۱ - مشتق بیرون:
مرحله ۲ - ضرب در مشتق داخل:
تابع:
قانون تقسیم را اعمال میکنیم:
مشتق مرتبه دوم = مشتق از مشتق: $f''(x) = \frac{d}{dx}[f'(x)]$
در مدیریت: برای تشخیص ماکزیمم و مینیمم استفاده میشود.
مشتق دوم یعنی «مشتق مشتق». اگر مشتق اول سرعت است، مشتق دوم شتاب است — یعنی تغییر سرعت.
$f'(x) = 0$ و $f''(x) < 0$ ← ماکزیمم
$f'(x) = 0$ و $f''(x) > 0$ ← مینیمم
جایی که شیب صفر است (قله یا دره). اگر خم رو به پایین است = قله (ماکزیمم). اگر خم رو به بالا است = دره (مینیمم).
| تابع | مشتق |
|---|---|
| $c$ | $0$ |
| $x$ | $1$ |
| $x^n$ | $n x^{n-1}$ |
| $\frac{1}{x}$ | $-\frac{1}{x^2}$ |
| $\sqrt{x}$ | $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $a^x$ | $a^x \ln a$ |
| $\ln x$ | $\frac{1}{x}$ |
| $\log_a x$ | $\frac{1}{x \ln a}$ |
| $f \cdot g$ | $f'g + fg'$ |
| $\frac{f}{g}$ | $\frac{f'g - fg'}{g^2}$ |
| $f(g(x))$ | $f'(g(x)) \cdot g'(x)$ |
$f(x)=5$ → $f'(x)=0$
$f(x)=3x$ → $f'(x)=3$
$f(x)=x^4$ → $f'(x)=4x^3$
$f(x)=2x^3$ → $f'(x)=6x^2$
$f(x)=x^5+x^2$ → $f'(x)=5x^4+2x$
$f(x)=3x^4-2x^2+7$ → $f'(x)=12x^3-4x$
$f(x)=\frac{1}{x}=x^{-1}$ → $f'(x)=-x^{-2}=-\frac{1}{x^2}$
$f(x)=\sqrt{x}=x^{1/2}$ → $f'(x)=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$
$f(x)=e^x$ → $f'(x)=e^x$
$f(x)=\ln x$ → $f'(x)=\frac{1}{x}$
$f(x)=e^{2x}$ → $f'(x)=2e^{2x}$
$f(x)=\ln(3x)$ → $f'(x)=\frac{1}{x}$
$f(x)=2^x$ → $f'(x)=2^x\ln2$
$f(x)=(x^2+1)^3$ → $f'(x)=6x(x^2+1)^2$
$f(x)=x \cdot e^x$ → $f'(x)=e^x(1+x)$
$f(x)=x^2\ln x$ → $f'(x)=2x\ln x+x$
$f(x)=\frac{x}{x+1}$ → $f'(x)=\frac{1}{(x+1)^2}$
$f(x)=\frac{x^2}{x-1}$ → $f'(x)=\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}$
$f(x)=e^{x^2}$ → $f'(x)=2xe^{x^2}$
$f(x)=\ln(x^2+1)$ → $f'(x)=\frac{2x}{x^2+1}$
$f(x)=(2x-3)^4$ → $f'(x)=8(2x-3)^3$
$f(x)=x^2 e^x$ → $f'(x)=xe^x(2+x)$
$f(x)=\frac{e^x}{x}$ → $f'(x)=\frac{e^x(x-1)}{x^2}$
$f(x)=\sqrt{x^2+1}$ → $f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$
$f(x)=(x^3+2x)^5$ → $f'(x)=5(x^3+2x)^4(3x^2+2)$
$f(x)=\ln(e^x+1)$ → $f'(x)=\frac{e^x}{e^x+1}$
$f(x)=3x^5-2x^3+x-8$ → $f'(x)=15x^4-6x^2+1$
$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$ → $f'(x)=-\frac{2x}{(x^2+1)^2}$
$f(x)=e^{3x}\ln x$ → $f'(x)=e^{3x}(3\ln x+\frac{1}{x})$
$f(x)=\ln\frac{x+1}{x-1}$ → $f'(x)=\frac{-2}{x^2-1}$
مشتق $x^n$ را $nx^{n-1}$ ننویسی و با $x^{n-1}$ اشتباه بگیری.
مشتق $e^x$ را $e^x$ بنویس، نه $xe^{x-1}$!
مشتق $\ln x$ را $\frac{1}{x}$ بنویس، نه $\frac{1}{x}\ln x$.
مشتق $fg$ را $f'g'$ ننویس! قانون ضرب $f'g+fg'$ است.
در قانون زنجیرهای، ضرب در مشتق داخل را فراموش نکن!
قاعده تقسیم: $f'g - fg'$ را به ترتیب درست بنویس.
مشتق عدد ثابت صفر است، نه خود عدد.
مشتق $\frac{1}{x}$ را $-\frac{1}{x^2}$ بنویس، نه $\ln x$.
اگر $f(x)=2x$، مشتق $2$ است، نه $2x$.
در $\sqrt{x}$، اول به $x^{1/2}$ تبدیل کن بعد مشتق بگیر.
مشتق $a^x$ را $a^x\ln a$ بنویس، نه $x a^{x-1}$.
مشتق $f(ax+b)$ را با زنجیرهای حساب کن: $a \cdot f'(ax+b)$.
در $f(x)=x \cdot e^x$ قانون ضرب را فراموش نکن.
سادهسازی نهایی را انجام بده. نمره داری!
علامتها را گم نکن. $-$ جلوی کسر را فراموش نکن.
در $(2x+1)^3$، مشتق $3(2x+1)^2 \times 2 = 6(2x+1)^2$ است، نه فقط $3(2x+1)^2$.
مشتق $\ln(kx)$ را $\frac{1}{x}$ بنویس (چون $\ln(kx)=\ln k+\ln x$).
در $\frac{f}{g}$ اگر $g$ ثابت است، قانون تقسیم نیاز نیست.
مشتق $x$ را $1$ بنویس، نه $0$.
مشتق $e^{3x}$ را $3e^{3x}$ بنویس (فراموش نکن $3$ را!).
شیب خط مماس بر نمودار $f$ در $(a, f(a))$ برابر $f'(a)$ است.
معادله خط مماس: $y - f(a) = f'(a)(x - a)$
شیب خط مماس = مشتق در آن نقطه. یعنی «تابع در آن نقطه چقدر تند است».
$f(x)=x^2$ در $x=3$: $f(3)=9$, $f'(3)=6$ → $y-9=6(x-3)$ → $y=6x-9$
نرخ تغییر لحظهای $f$ در $a$ = $f'(a)$. یعنی اگر x یک واحد تغییر کند، f(x) چقدر تغییر میکند.
$MC(x) = C'(x)$ — اگر یک واحد بیشتر تولید کنیم، هزینه چقدر زیاد میشود؟
هزینه نهایی یعنی «قیمت تمام شده یک واحد اضافی».
$C(x)=2000+100x+2x^2$ → $MC(x)=100+4x$ → $MC(10)=140$
$MR(x) = R'(x)$ — اگر یک واحد بیشتر بفروشیم، درآمد چقدر زیاد میشود؟
درآمد نهایی یعنی «یک واحد بیشتر بفروشی، چقدر به درآمدت اضافه میشود».
$R(x)=500x-3x^2$ → $MR(x)=500-6x$ → $MR(20)=380$
$MP(x) = P'(x) = MR(x) - MC(x)$
سود نهایی = درآمد نهایی منهای هزینه نهایی.
$R(x)=500x$, $C(x)=2000+100x$ → $P(x)=400x-2000$ → $MP=400$
$f'(x) > 0$ ← صعودی • $f'(x) < 0$ ← نزولی • $f'(x) = 0$ ← نقطه بحرانی
مشتق مثبت = سربالایی، مشتق منفی = سرازیری، مشتق صفر = قله یا دره.
اول مشتق بگیر و صفرش کن (قلهها و درهها را پیدا کن)، بعد مشتق دوم بگیر تا ببینی قله است یا دره.
$f(x)=-x^2+6x-5$ → $f'(x)=-2x+6=0$ → $x=3$ → $f''(x)=-2<0$ ← ماکزیمم
$f(3)=4$ ← نقطه $(3,4)$
یک تابع سود یا هزینه میدهد و میگوید «بیشینه سود در چه تولیدی است؟» مشتق بگیر، صفر کن، با مشتق دوم چک کن.
$f'=0$ = نقاط بحرانی. $f''>0$ = مینیمم (دره). $f''<0$ = ماکزیمم (قله). مثل قله کوه و ته دره.
$C(x)=5000+200x$ → $C(100)=25000$
$R(x)=800x$ → $R(50)=40000$
$P(x)=800x-(5000+200x)=600x-5000$
$600x=5000$ → $x\approx8.33$ (۹ واحد)
تابع هزینه:
هزینه نهایی (مشتق):
در سطح ۱۰ واحد:
تابع درآمد:
درآمد نهایی (مشتق):
در سطح ۳۰ واحد:
تابع سود:
سود نهایی (مشتق):
در سطح ۴۰ واحد:
۱. تابع سود:
۲. مشتق را صفر میکنیم:
۳. سود بیشینه:
۱. تابع هزینه:
۲. مشتق را صفر میکنیم:
۳. کمینه هزینه:
۱. دادهها:
۲. تابع سود:
۳. بهینهسازی:
۴. بیشینه سود:
۱. دادهها:
۲. تابع سود:
۳. بهینهسازی:
۴. بیشینه سود:
$\epsilon=\frac{p}{x}\cdot\frac{dx}{dp}$ — اگر فرمول را بدهند جایگذاری کن.
کشش یعنی «اگر قیمت را تغییر دهی، تقاضا چقدر حساس است».
جمعیت اولیه:
نرخ رشد جمعیت (مشتق):
سرمایه پس از t سال:
نرخ رشد سرمایه (مشتق):
یعنی سرمایه هر لحظه به اندازه $Pre^{rt}$ تومان رشد میکند.
تابع سود:
با صفر کردن مشتق:
پس ۳۳ واحد بهینه است.
فرمول هزینه متوسط:
شرط کمینه بودن:
هزینه متوسط = هزینه کل تقسیم بر تعداد. میخواهیم این را کمینه کنیم.
۱. تابع هزینه:
۲. هزینه متوسط:
۳. کمینه کردن:
۱. تابع درآمد:
۲. مشتق را صفر میکنیم:
۳. بیشینه درآمد:
$MP(x)=0$ → سود در حداکثر خود است (نقطه بهینه)
وقتی سود نهایی صفر شد، یعنی بیشتر از این سود نمیکنی — همین جا بایست!
$MC(50)=300$, $MR(50)=400$ → تولید واحد ۵۱ام سودآور است (400>300)
اگر درآمد نهایی بیشتر از هزینه نهایی باشد، تولید بیشتر = سود بیشتر.
فراموش میکنی مخرج را بررسی کنی.
$\sqrt{x^2-4}$ را $x^2-4 \geq 0$ نمیگیری (≥ درسته، > غلطه).
در $\frac{1}{\sqrt{x}}$، $\sqrt{x} \neq 0$ را فراموش میکنی.
جواب دامنه را به صورت بازه نمینویسی.
اشتراک شرطها را با اجتماع اشتباه میگیری.
خط عمودی را با خط افقی اشتباه میگیری.
فکر میکنی هر معادلهای تابع است. دایره تابع نیست.
در ترکیب توابع ترتیب را رعایت نمیکنی: اول g بعد f.
فکر میکنی $f(g(x)) = g(f(x))$ است.
وقتی $\frac{0}{0}$ میبینی مستقیم مینویسی وجود ندارد. باید رفع ابهام کنی!
در $\frac{c}{0}$ فکر میکنی جواب بینهایت است. بستگی به علامت دارد.
حد چپ و راست را در نقاط بحرانی بررسی نمیکنی.
فکر میکنی $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$ همیشه. فقط برای توابع پیوسته.
در فاکتورگیری علامتها را اشتباه میگیری.
مزدوج $\sqrt{a}-\sqrt{b}$ را $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ فراموش میکنی.
مشتق $x^5$ را $5x^4$ ننویسی!
مشتق $e^x$ را $xe^{x-1}$ ننویس!
مشتق $\ln x$ را $\frac{1}{x}$ بنویس.
در قانون ضرب فقط $f'g'$ مینویسی! قانون: $f'g+fg'$.
در قانون زنجیرهای ضرب در مشتق داخل را فراموش میکنی.
در قانون تقسیم ترتیب $f'g-fg'$ را اشتباه میگیری.
مشتق $3x$ را $3$ بنویس، نه $3x$.
مشتق $f(2x)$ را $2f'(2x)$ بنویس.
مشتق $a^x$ را $a^x\ln a$ بنویس، نه $x a^{x-1}$.
سادهسازی نهایی را انجام نمیدهی.
$f'(x)=0$ را حل میکنی ولی $f''(x)$ را بررسی نمیکنی.
علامت مشتق دوم را اشتباه میگیری: $f''>0$ مینیمم، $f''<0$ ماکزیمم.
در $\sqrt{x^3}$ اول به $x^{3/2}$ تبدیل نکرده مشتق میگیری.
در $f(x)=\frac{1}{x^2}$ نمینویسی $x^{-2}$.
عدد ثابت → مشتق صفر. حتی اگر $c\neq0$ باز هم صفر!
$P=R-C$ را فراموش میکنی و سود را با درآمد اشتباه میگیری.
هزینه نهایی $C'$ با هزینه متوسط $C/x$ فرق دارد.
نقطه سربهسر: $P(x)=0$، نه $R(x)=0$.
$MR=MC$ شرط بهینه تولید است. حفظش کن.
$MP(x)=P'(x)$ است، نه $\frac{P}{x}$.
جواب نهایی را ساده نمیکنی.
واحد را نمینویسی (تومان، واحد).
در بازهها از پرانتز و کروشه درست استفاده نمیکنی.
$x=3\pm2$ را $x=1$ یا $x=5$ نمینویسی.
در حل معادلات درجه ۲ از فرمول استفاده نمیکنی.
$-(x-3)=-x+3$ را فراموش میکنی.
$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ را یادت میرود.
$|a+b|\neq|a|+|b|$
$\ln(a+b)\neq\ln a+\ln b$. فقط $\ln(ab)=\ln a+\ln b$.
جوابهای $f'(x)=0$ را با دامنه چک نمیکنی.
صورت سؤال را کامل نمیخوانی و عجله میکنی.
از ماشین حساب درست استفاده نمیکنی.
در $\frac{0}{0}$ از هوپیتال استفاده نمیکنی درحالی که میتوانی.
مشتق ضمنی را بلد نیستی. اگر $y$ در تابع بود، $\frac{dy}{dx}=?$
اعتماد به نفس نداری. این جزوه را خواندهای، کافی است! 💪